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미분 방정식 예제

미분 방정식을 만드는 것이 첫 번째 주요 단계입니다. 그러나 우리는 또한 예를 들어, 봄이 시간이 지남에 따라 위아래로 바운스하는 방법을 발견하기 위해 그것을 해결해야합니다. 미분 방정식을 해결하는 방법에는 여러 가지가 있으며, 대략적인 인기 순서로 나열합니다. 또한 교과서에서 볼 수 있는 것과 다른 방식으로 분류합니다. 우리의 임무는 미분 방정식을 해결하는 것입니다. 이것은 어떤 시점에서 통합을 포함하고, 우리는 (주로) “y = …”의 줄을 따라 식으로 끝날 것입니다. 이 시점에서 우리는 (희망) 양쪽을 통합 한 다음 다시 왼쪽에있는 (u)에 대한 대체 할 수 있습니다. 이전 문장에서 암시한 것처럼 이 시점에서 적분 중 하나 또는 둘 다를 실제로 평가하지 못할 수도 있습니다. 이 경우 미분 방정식을 해결하기 위해이 방법을 사용하여 진행하기 위해 할 수있는 일이 많지 않습니다. 우리는 차별화를 사용하여 우리의 질문을 작성 할 수 있습니다 : 그것을 알고 또는 그것을 찾아. 물론! 매우 많은 미분 방정식이 이미 해결되었습니다.

이 중 일부는 배우게 될 것이고, 다른 것들은 당신이 찾아볼 수 있다. 이것은 지금까지 과학자 또는 수학자가 미분 방정식을 `해결`하는 가장 일반적인 방법입니다. 또한 일부 (비 수치) 컴퓨터 소프트웨어가 미분 방정식을 해결하는 방법입니다. 스프링에서 진동하는 질량의 위 모델은 그럴듯하지만 매우 현실적이지 않습니다: 실제로 마찰은 질량을 감속하고 속도에 비례하는 크기(예: dx/dt)를 가지는 경향이 있습니다. 가속도와 힘의 균형을 표현하는 새로운 미분 방정식은 1차 선형 비균일 ODI(일반 미분 방정식)는 분리할 수 없습니다. 통합 팩터 메서드라고 하는 다음 접근 방식으로 해결할 수 있습니다. 일반 형태의 1차 선형 ODEs 고려: 균일한 버전에 대한 일반적인 솔루션이 알려진 경우 비균질 일반 미분 방정식을 해결할 수 있으며, 이 경우 결정되지 않은 계수 방법 또는 매개 변수 변형이 있을 수 있습니다. 특정 솔루션을 찾는 데 사용됩니다. 아날로그 솔루션. 일부 미분 방정식은 아날로그 컴퓨터에서 쉽게 해결할 수 있습니다. 이들은 매우 빠르며 `실시간` 제어 문제에 적합합니다.

그들의 단점은 제한된 정밀도이며 아날로그 컴퓨터는 이제 드뭅니다. 덧붙여, 미분 방정식은 거의 항상 근사치일 뿐이라는 점에 유의해야 합니다. 이 방정식을 설명하는 시스템을 갖지는 것은 불가능합니다. 예를 들어, 어떤 종의 인구는 기하 급수적으로 성장할 수 없습니다. 하나의 한계를 인용하기 위해: 유기체가 빛의 속도로 반경이 증가하는 고체 구체를 차지하면 더 이상 성장하지 못합니다. (정치인들이 어떤 것이든, 특히 인구가 증가하는 것에 집착할 때 이 점을 기억할 가치가 있다.) 더 합병증을 추가 하자: 추가 진동 힘으로 파티클을 흔들어 시작 하자, 말 F = F0 죄 Ωt. 이것은 우리에게 새로운 미분 방정식을 제공합니다 : 이것은 양식의 간단한 첫 번째 순서 미분 방정식을 해결하는 방법에 대한 자습서입니다 많은 일반 미분 방정식DSolve[eqn, y, x]를 사용하여 Wolfram 언어에서 정확하게 해결할 수 있으며 NDSolve를 사용하여 수치적으로 해결할 수 있습니다[ eqn, y, x, xmin, xmax]. 우리는 단순히 양측의 자연 로그를 복용하여쉽게이 미분 방정식에 명시 적 해결책을 찾을 수 있습니다. 일반 미분 방정식(자주 “ODE”, “diff eq” 또는 “diffy Q”라고 함)은 함수와 그 파생 함수를 포함하는 같음입니다. ODE는 일반 미분 방정식(ODE) $$diff{x}= $x(t)$에 대해 5x -3$$$를 해결하는 형식의 방정식입니다.

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